能，商店关门后仍可要求工伤费用赔偿。因工伤在劳动关系存续期间发生，后续治疗费应予支付。《工伤保险条例》规定，治疗工伤所需费用应支付。若不及时处理，可能影响工伤员工的权益恢复及赔偿获取。
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可要求赔偿。具体操作：1.与用人单位沟通，要求支付后续治疗费；2.若拒付，准备工伤证明等材料申请劳动仲裁；3.仲裁不满，向法院提起诉讼。每一步都需保留好相关证据，确保自身权益。
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常见处理方式是先与用人单位协商，协商不成可申请劳动仲裁或诉讼。依据《劳动法》，工伤赔偿是法定责任，用人单位应承担。选择方式时，考虑效率与公正，协商快但可能结果不理想，仲裁或诉讼慢但裁决有法律效力。